我是一个兼职，因为没有及时向客人道歉而被辞退

兼职能口头辞退。如果劳动者从事的兼职工作是非全日制用工，则任何一方都可以以口头通知的形式随时通知对方终止用工；如果劳动者从事的一项兼职工作的是全日制工作，在劳动者因兼职严重影响用人单位的工作任务时，用人单位可以口头辞退员工，并为其办理离职手续。法律依据：《中华人民共和国劳动合同法》第六十九条
非全日制用工双方当事人可以订立口头协议。
第七十一条
非全日制用工双方当事人任何一方都可以随时通知对方终止用工。终止用工，用人单位不向劳动者支付经济补偿。
《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条
劳动者有下列情形之一的，用人单位可以解除劳动合同：
（四）劳动者同时与其他用人单位建立劳动关系，对完成本单位的工作任务造成严重影响，或者经用人单位提出，拒不改正的；
（五）因本法第二十六条第一款第一项规定的情形致使劳动合同无效的；
（六）被依法追究刑事责任的。

员工存在以下行为的，辞退不赔偿：
1、严重违反用人单位的规章制度；
2、严重失职，营私舞弊，给用人单位造成重大损害；
3、同时与其他用人单位建立劳动关系，对完成本单位的工作任务造成严重影响的等。法律依据：《劳动合同法》第三十九条
劳动者有下列情形之一的，用人单位可以解除劳动合同：
（一）在试用期间被证明不符合录用条件的；
（二）严重违反用人单位的规章制度的；
（三）严重失职，营私舞弊，给用人单位造成重大损害的；
（四）劳动者同时与其他用人单位建立劳动关系，对完成本单位的工作任务造成严重影响，或者经用人单位提出，拒不改正的；
（五）因本法第二十六条第一款第一项规定的情形致使劳动合同无效的；
（六）被依法追究刑事责任的。