针对客户购买的一元商品存在质量问题而商家拒绝按《消费者权益保护法》规定赔偿的情况,首先,您应确保商品确实存在质量问题,并保留相关证据,如购物凭证、商品照片等。随后,可再次尝试与商家沟通,明确指出其违反了《消费者权益保护法》第五十五条的规定,即‘经营者提供商品或者服务有欺诈行为的,应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失,增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或者接受服务的费用的三倍;增加赔偿的金额不足五百元的,为五百元。法律另有规定的,依照其规定’。若沟通无果,可及时向消费者协会举报,或考虑通过法律途径维护自身权益。